Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.
Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые , к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.
Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты
Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .
Определение . Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.
Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f (x ) , если выполняется хотя бы одно из условий:
При этом функция f (x ) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a .
Замечание:
Пример 1. График функции y =lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:
(рис. сверху).
самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти асимптоты графика функции .
Пример 3. Найти асимптоты графика функции
Горизонтальные асимптоты
Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .
Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b ), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f (x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).
Пример 5. График функции
при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении "икса" к минус бесконечности равен нулю:
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении "икса" к плюс бесконечности равен бесконечности:
Наклонные асимптоты
Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число - точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше - угловой коэффициент k , который показывает угол наклона прямой, и свободный член b , который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё - уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом . Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x ) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:
(1)
(2)
Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.
В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.
При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.
Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.
Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).
Пример 7. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:
Заключение: x = −1 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция - дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой - наклонной асимптоты:
Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = −3x + 5 .
На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты - чёрным.
Пример 8. Найти асимптоты графика функции
Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:
.
Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .
Пример 9. Найти асимптоты графика функции
Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .
Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):
.
Точка x = 2 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 - вертикальная асимптота графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты:
Итак, y = x + 1 - наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :
Итак, y = −x − 1 - наклонная асимптота при .
Пример 10. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при .
Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стремится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.
Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.
1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при , и этот предел равен b , т. е. если
2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при . Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргумента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут
х = а1, х =а2…
3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул
(следует отдельно рассматривать случаи ). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют конечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.
Пример.
Найти асимптоты кривой
Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия
2х
+ 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у
,
когда
,
у
,
когда
.
Определим наклонные асимптоты, уравнение
которых имеет вид: у = kx + b
Так
как k и b имеют конечные значения и равны
между собой при х
и при х
,
то имеется единственная наклонная
асимптота, уравнение которой
Общее исследование функции
Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:
Определение области существования функции.
Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
Определение точек разрыва функции.
Определение асимптот графика функции.
Определение интервалов возрастания и убывания функции.
Определение экстремума функции.
Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
Определение точек перегиба.
Нахождение пересечения с осями координат.
Построение графика функции.
Пример.
Исследуем функцию
D
(y) = (
).
Функция непрерывна на всей области
определения. Точек разрыва нет.
Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
Точек разрыва нет.
Вертикальных
асимптот нет;
,
наклонных асимптот нет.
5,
6.
.
Критические точки х = -2, х = 0.
( |
( |
||||
Знак |
= 0 | ||||
Поведение функции |
Возрастает |
3 |
Возрастает |
7,
8.
,
при
х = 1,
не существует при х = 0.
( |
( |
||||
Знак
|
=
|
= 0 | |||
Поведение функции |
Выпукла верх |
Не является точкой перегиба |
Выпукла верх |
Точка перегиба |
Выпукла вниз |
9.
х
=0 и х = -5.
Задание 1
Вычислить определитель матрицы А второго порядка
Вычислить определитель матрицы В третьего порядка
Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу
Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка
Вариант 1 | ||||||||||||||||||
Вариант 2 | ||||||||||||||||||
Вариант 3 | ||||||||||||||||||
Вариант 4 | ||||||||||||||||||
Вариант 5 | ||||||||||||||||||
Вариант 6 | ||||||||||||||||||
Вариант 7 | ||||||||||||||||||
Вариант 8 | |||||||||||
Вариант 9 | |||||||||||
Вариант 10 | |||||||||||
Задание 2
1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а
Решить методом Крамера систему уравнений В x = b
Решить методом Гаусса систему уравнений В x = b
Задание 3.
Ах = а
Решить матричным методом систему уравнений В x = b
Задание 4.
Вычислить ранг матрицы.
1.,
2.
;
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
Задание 5
Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х 1 ,у 1 ), В (х 2 ,у 2 ) и точка D (x 3 , y 3 )пересечения высот:
а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС .
б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.
в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х 4 , у 4 ) до сторон треугольника.
x 1 |
y 1 |
x 2 |
y 2 |
x 3 |
y 3 |
x 4 |
y 4 |
|
Задание 6.
Даны координаты вершин пирамиды АВС D : А (х 1 ,у 1 , z 1 ), В (х 2 ,у 2 , z 3 ) ,C (x 2 , y 2 , z 2 ) ,D (х 4 , у 4 , z 3 )
1) длину ребра АВ; .
2) угол между ребрами АВ и А D ;
3) угол меду ребром AD и гранью ABC ;
4) площадь грани ABC ;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой AB ;
7) уравнение плоскости ABC ;
8) уравнение высоты, опущенной из вершиныD на грань ABC .
n |
x 1 |
y 1 |
z 1 |
x 2 |
y 2 |
z 2 |
x 3 |
y 3 |
z 3 |
x 4 |
y 4 |
z 4 |
Задание 7.
Задание 8. Найти область определения функции
5.
7.
8.
9.
10.
Задание 9.Построить график функции
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание 10 .Найти пределы функции
1.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
2.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
3.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
4.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
5.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
6.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
7.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
8.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
9.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
10.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
Задание 11. Найти производную
1.
,
б),
в)
,
г)
,
д)
,
е)
2.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,е)
3.
а),
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
e)
4.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
e)
5.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
6.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
7.
а)
,
б),
в)
,
г)
,
д)
,
е)
8.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
9.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
10.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
Задание 12. Показать, что функция удовлетворяет равенству
Задание 13. Найти вторую производную функции, заданной параметрически.
1 .
6.
2.
7
3.
8
4.
9.
5.
10.
Задание 14. Найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя
Задание 15. Найти экстремумы заданных функций.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Задание 16. Найти наибольшее и наименьшее значение на указанных отрезках и на указанных интервалах.
Задание 17. Провести полное исследование данных функций и начертить их графики.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Литература:
Баврин И.И. Курс высшей математики.-М.:Просвящение,1992.-400 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М, 1967г,608 с
Общий курс высшей математики для экономистов, под ред В.И.Ермакова-М. «Инфра-М».1999 г.-655 с.
Теуш В.Л. Курс высшей математики. - М.: Советская наука, 1958г, 270 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие М. Высшая школа,1990.-479с.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко и др.; М: ЮНИТИ, 2002. – 461 с.
Валєєв К.Г, Джалладова І.А Вища математика: Навч. Посібник.
Определение . Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точкиграфика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат .
По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные, наклонные.
Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).
Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.
Теорема 1 . Пусть функция определена хотя бы в некоторой полуокрестности точкии хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равенили. Тогда прямаяявляется вертикальной асимптотой графика функции .
Таким образом, вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).
Теорема 2 . Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции. Тогда прямаяесть горизонтальная асимптота графика функции.
Может случиться, что , а, причеми- конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов или, то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.
Теорема 3 . Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределыи. Тогда прямаяявляется наклонной асимптотой графика функции .
Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.
Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.
Пример . Найдите все асимптоты графика функции .
Решение .
Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках.
Так как и(два других односторонних предела можно уже не находить), то прямыеиявляются вертикальными асимптотами графика функции.
Вычислим
(применим правило Лопиталя) =.
Значит, прямая - горизонтальная асимптота.
Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).
Ответ : график имеет две вертикальные асимптоты и одну горизонтальную.
Общие исследование функции y = f (x ).
Область определения функции. Найти ее область определения D (f ) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E (f ) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E (f ) откладывается до нахождения экстремумов функции.)
Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.
Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определенияD (f ), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D (f ) вклоючает в себя лучи вида (a;+) или (−;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x+или x−соответственно, т.е. найти limxf(x).Наклонные асимптоты : y = kx + b, где k=limx+xf(x) и b=limx+(f(x)−x).Горизонтальны асимптоты : y = b, где limxf(x)=b.
Нахождение точек пересечения графика с осями . Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.
Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.
Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f(x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f(x) , мы решаем неравенство f(x)0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f(x)0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).
Сколько асимптот может быть у графика функции?
Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса - бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.
Что значит найти асимптоты графика функции?
Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи. Процесс предполагает нахождение пределов функции.
Вертикальные асимптоты графика функции
Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрыва функции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.
Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой - зависит от контекста.
Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова - любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация: и ось ординат.
Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на, то вертикальные асимптоты отсутствуют. На ум почему-то пришла парабола. Действительно, где тут «воткнёшь» прямую? …да… понимаю… последователи дядюшки Фрейда забились в истерике =)
Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.
Наклонные асимптоты графика функции
Наклонные (как частный случай - горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если аргумент функции стремится к «плюс бесконечности» или к «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше 2-х наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции обладает единственной горизонтальной асимптотой при, а график арктангенса при - двумя такими асимптотами, причём различными.
Когда график и там и там сближается с единственной наклонной асимптотой, то «бесконечности» принято объединять под единой записью. Например, …правильно догадались: .
Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной , горизонтальных и наклонной асимптот.
Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.
Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x 0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е. Тогда прямая x = x 0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).
Очевидно, что прямая х = х 0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х 0 , так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.
Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.
Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннюю горизонтальную асимптоту.
В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.
Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы . Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.
Без доказательства.
Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.
Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.
4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Дифференциал функции
Можно доказать, что если функция имеет при некоторой базе предел, равный конечному числу, то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при той же базе (и наоборот): .
Применим это теорему к дифференцируемой функции: .
Таким образом, приращение функции Dу состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Dх, т.е. f `(x)Dх; 2) нелинейного относительно Dх, т.е. a(Dx)Dх. При этом, так как , это второе слагаемое представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем Dх (при стремлении Dх к нулю оно стремится к нулю еще быстрее).
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f `(x)Dх.
Найдем дифференциал функции у = х.
Так как dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, то dx = Dх, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде dy = f `(x)dх. Именно поэтому одно из обозначений производной представляет собой дробь dy/dх.
Геометрический смысл дифференциала проиллюстрирован
рисунком 3.11. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение Dх. Тогда функция y = f(x) получит приращение Dy = f(x + Dх) - f(x). Проведем касательную к графику функции в точке М, которая образует угол a с положительным направлением оси абсцисс, т.е. f `(x) = tg a. Из прямоугольного треугольника MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение Dх.
Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной:
3. d(u ± v) = du ± dv.
4. d(uv) = v du + u dv.
5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .
Однако, существует важное свойство дифференциала функции, которым не обладает ее производная – это инвариантность формы дифференциала .
Из определения дифференциала для функции y = f(x) дифференциал dy = f `(x)dх. Если эта функция y является сложной, т.е. y = f(u), где u = j(х), то y = f и f `(x) = f `(u)*u`. Тогда dy = f `(u)*u`dх. Но для функции
u = j(х) дифференциал du = u`dх. Отсюда dy = f `(u)*du.
Сравнивая между собой равенства dy = f `(x)dх и dy = f `(u)*du, убедимся, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала и получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.
Однако в этих двух формулах все же есть различие: в первой из них дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = Dx, а во в торой дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функции Du и только при малых Dх du » Du.